Monday, May 14, 2007

കണക്കിലെ ഒരു സംശയം

ഇന്നലെ നടന്ന കണക്ക് പരിക്ഷയിലെ ഒരു ചോദ്യമിങ്ങനെ:











ഇതിന് ഞാനെഴുതിയ ഉത്തരം 4 , ഉമ്മച്ചിയും , ഉപ്പച്ചിയും അതു ശരിവെക്കുന്നു.



എന്നാല്‍ ടീച്ചറും ചിലകുട്ടികളും ഉത്തരം -4 ആണെന്നാണ് പറയുന്നത്.



അവര്‍ പറയുന്നു , -2 മുഴുവനായും ബ്രാക്കറ്റില്‍ ഇട്ടാലെ 4 ഉത്തരമാകൂ.





താഴെയുള്ള ചോദ്യങ്ങളുടെ ഉത്തരമെന്താണ്?


പെട്ടെന്നുത്തരം കണ്ടെത്തി സഹായിക്കണേ!



82 comments:

പച്ചാന::pachaana said...

മാമ മാരെ ,

കണക്കിലെ ഒരു ചെറിയ സംശയം ഉത്തരം തന്ന് സഹായിക്കണേ!

Siju | സിജു said...

പച്ചാനയെഴുതിയ ഉത്തരമാണു ശരി

1. 4
2. -4
3. 4

ഡാലി said...

പച്ചാന കുട്ടിയെഴുതിയ ഉത്തരമാണ് ശരി. ചോദ്യങ്ങളുടേ ഉത്തരം സിജു ഇവിടെ എഴുതിയിട്ടുണ്ടല്ലോ.
ഇനി എന്തു കൊണ്ട് ശരി എന്ന് പറയുന്നു എന്ന് നോക്കാം.
-2 സംഖ്യാ രേഖയിലെ ഒരു പോയന്റാണ്. അതിനെ സൂചിപ്പിക്കാന്‍ കണ്വെന്‍ഷന്‍ലി ബ്രാക്കറ്റ് ഇടേണ്ട ആവശ്യമില്ല. അതുകൊണ്ട് -2 ന്റെ സ്ക്വയര്‍ എന്നാല്‍ -2x-2 തന്നെയാണ്.

വക്കാരിമഷ്‌ടാ said...
This comment has been removed by the author.
വക്കാരിമഷ്‌ടാ said...

പക്ഷേ ‌-(2) ന്റെ സ്ക്വയര്‍ -4 ആണോ 4 ആണോ?

-(2)ഉം (-2)ഉം ഒന്ന് തന്നെയല്ലേ?

(ഒന്നും ഒന്നും എത്രയാ?)

Pramod.KM said...

കുട്ടികള്‍ ചോദ്യം ചോദിക്കുമ്പോള്‍ വെറുതെ കണ്‍ഫ്യൂഷനാക്കാതെ വക്കാരീ.അത് തീരെ ഗുണം ചെയ്യില്ല.

വക്കാരിമഷ്‌ടാ said...

അയ്യോ, അങ്ങിനെയാണോ? (എനിക്ക് ശരിക്കും കണ്‍ഫ്യൂഷനായിട്ട് തന്നെ ചോദിച്ചതാണ് കേട്ടോ)

എന്നാലും ഉത്തരമെന്താ രണ്ടാം നമ്പറിന്റെ?

വക്കാരിമഷ്‌ടാ said...

പച്ചാന, സിജൂ, ഡാലീ,

-2 വിന്റെ സ്ക്വയര്‍ എന്ന് പറയുന്നത് -4 ആണ്.

The exponentiation is always done before the negation unless there are
parentheses there to indicate otherwise.

കൂടുതല്‍ വിവരങ്ങള്‍ ഇവിടെ

പച്ചാനയുടെ രണ്ടാം ചോദ്യം -(2)വിന്റെ സ്ക്വയര്‍ എന്നതുകൊണ്ട് എന്താണുദ്ദേശിക്കുന്നതെന്ന് കണ്‍ഫ്യൂഷനാണ്

വക്കാരിമഷ്‌ടാ said...

The bottom line is that
-a^b is always evaluated as -(a^b).

അതായത് -2^2 is always evaluated as -(2^2), അതായത് -(4), അതായത് -4.

വക്കാരിമഷ്‌ടാ said...

എനിക്ക് തോന്നുന്നത് പച്ചാനയുടെ രണ്ടാം ചോദ്യവും പച്ചാനയുടെ ക്ലാസ്സിലെ ചോദ്യവും ഒന്നുതന്നെയാണെന്നാണ്.

കുറുമാന്‍ said...

കണക്കിലെ എഒരു സംശയം എന്നു കണ്ടിട്ട് ഓടി വന്നതാ. സംശയം തീര്‍ത്തു കൊടുക്കുവാനല്ല. 10 * 10 = 100 എന്നതിനപ്പുറം ഒന്നും അറിയില്ല. അന്യായ മാര്‍ക്കായിരുന്നു കണക്കിനെപ്പോഴും, അതിനാല്‍ വല്ലതും പഠിക്കാന്‍ സ്കോപ്പുണ്ടോന്നു നോക്കി വന്നതാട്ടോ....ഇവിടെ വന്നപ്പോള്‍ മൊത്തം കണ്‍ഫ്യൂഷ്യസ് ആയി എന്നുമാത്രമല്ല, കണക്കു പഠിക്കാനുള്ള ആ ഒരു ഇത് പോയികിട്ടുകേം ചെയ്ത്.

വിശ്വപ്രഭ viswaprabha said...

ഇതില്‍ ടീച്ചര്‍ പറയുന്നതാണു ശരി!

ആദ്യം ചെയ്യേണ്ടത് exponential expansion ആണ്.

binary അല്ലാതെ unary sign ആയി മൈനസ് വന്നാലും ഇതുതന്നെ ശരി.

1. -4
2. -4
3. +4

വക്കാരിമഷ്‌ടാ said...

യപ്പ്, വിശ്വേട്ടനെ പിന്താങ്ങുന്നു.

ആവനാഴി said...

പ്രിയ പച്ചാന,

പച്ചാന വെറുതെ തമാശക്കിട്ട പോസ്റ്റാണോ ഇതു?
അതല്ല, യഥാര്‍ത്ഥത്തില്‍ അറിയാനാണിട്ടിരിക്കുന്നതെങ്കില്‍ ഉത്തരങ്ങള്‍ താഴെ കൊടുക്കുന്നു.

(a) ഇതിന്റെ അര്‍ത്ഥം negative of the square of 2 എന്നാണു. അല്ലാതെ square of negative 2 എന്നല്ല.

അപ്പോള്‍ ഉത്തരം -4

(square of 2 വിന്റെ വില 4. അപ്പോള്‍ negative of the square of 2 വിന്റെ വില -4. മനസ്സിലായോ?)

(b) ഇതിന്റെ അര്‍ത്ഥവും negative of the square of 2 എന്നു തന്നെയാണു. ഇവിടെ ബ്രാക്കറ്റ് അധികപ്പറ്റാണു. ബ്രാക്കറ്റുള്ളതുകൊണ്ട് തെറ്റൊന്നുമില്ല, അതിന്റെ ആവശ്യമില്ല എന്നു മാത്രം.

അപ്പോള്‍ ഉത്തരം -4

(c) ഇതിന്റെ അര്‍ത്ഥം square of negative 2 എന്നാണു. -2 ബ്രാക്കറ്റില്‍ ഇട്ടിരിക്കുന്നതുകൊണ്ടാണു ഈ അര്‍ത്ഥം വരുന്നത്.

അപ്പോള്‍ ഉത്തരം 4. അതായത് +4 . കാരണമെന്ത് ? ഇവിടെ -2 നെ നാം -2 കൊണ്ടു ഗുണിക്കണം.

സസ്നേഹം
ആവനാഴി.

Pramod.KM said...

ടീച്ചറും,വക്കാരിയും വിശ്വേട്ടനും ഒക്കെ പറഞ്ഞ ഉത്തരം തന്നെ ശരി.
ഒരു ചെറിയ ഉദാഹരണം.
2squared - 2squared =0
that is 4-4=0
so -2squared=-4

തറവാടി said...

നിങ്ങള്‍‍ പറഞ്ഞത് ,

അതായത് മൈനസ് ചിഹ്നം സംഖ്യയുടെ പിന്നില്‍ നടുവിലായി ഇട്ടാല്‍‍ ഉള്ള കാര്യമാണ് ,

എന്നാല്‍ ഇന്‍ഹെറെന്‍‍റ്റായി മൈനസ് ചിഹ്നം വരുമ്പൊള്‍ എന്താകും‍?

അതായത് ഒരു സംഖ്യയുടെ ചിഹ്നം വരുന്ന സ്ഥലമനുസരിച്ച് മാറും ,ചിഹ്നം സംഖ്യയുടെ പിന്നില്‍ നടുവില്‍ ഇടുമ്പൊള്‍ -4ഉം , സംഖ്യയുടെ പിന്നില്‍ മുകളില്‍ ആയി വരുമ്പൊള്‍+4 അതായതു 4 ആയിരിക്കും ഉത്തരം.

വക്കാരിമഷ്‌ടാ said...

തറവാടി എന്താണ് ഉദ്ദേശിച്ചതെന്ന് ഒന്നുകൂടി വ്യക്തമാക്കാമോ?

-2 എന്ന് പറഞ്ഞാല്‍ -1*2 അല്ലേ?

വിശ്വപ്രഭ viswaprabha said...

a - b എന്നു പറഞ്ഞാല്‍ Binary operation.
വെറുതെ -b എന്നു പറഞ്ഞാല്‍ Unary operation.

ഇതു രണ്ടിലും ഒരേ പോലെയാണു കണക്കാക്കേണ്ടത്.

പക്ഷേ C പ്രോഗ്രാം എഴുതിയ കാലത്ത് റിച്ചിയ്ക്കും കെര്‍ണിങ്ങ്ഹാമിനും പറ്റിയ ഒരു ചരിത്രപരമായ അബദ്ധം മൂലം C-യിലും എക്സലിലും മറ്റും ഈ വ്യവസ്ഥയില്‍ നേരിയ വ്യത്യാസമുണ്ട്.

എന്തായാലും അംഗീകരിക്കപ്പെട്ട അങ്കഗണിതപദ്ധതി വെച്ച് നേരത്തെ പറഞ്ഞ പോലെ തന്നെയാണ് കണക്കാക്കേണ്ടത്. മൈനസ് എന്തുതരം എന്നുള്ളത് പ്രസക്തമല്ല.

daly said...

പച്ചാന കുട്ടീതു വായിക്കണ്ടാട്ടോ. ഉപ്പ വായിച്ച് പിന്നെ മനസ്സിലാക്കി തരും.

തറവാടി മാഷേ, പച്ചാന പറഞ്ഞത് ശരി എന്ന് എഴുതുമ്പോള്‍ എന്റെ മനസ്സില്‍ താഴേ പറയുന്ന കാര്യങ്ങള്‍ ആയിരുന്നു.

1)
-2^2 =1*(-2)^2=4 ആണെന്നും
-2^2 not equal to -1*(2^2) എന്നുമായിരുന്നു എന്റെ അറിവ്.

2)
-2 നു മുന്നിലുള്ള '-' ഒരു operator അല്ല എന്നും -2 എന്നൊരു സംഖ്യ സംഖ്യാ രേഖയില്‍ ഉണ്ട് എന്നുമുള്ള അറിവ്.

3)
-2 ഉണ്ട് എന്ന് കാണിക്കനുള്ള തെളിവുകള്‍ താഴെ.
(-2)-(-2)=0
(-2)*1=-2
(-2)/(-2)=1
(പൂജ്യവും, imaginary എന്നിവയെ തല്‍ക്ക്കലം മാറ്റി നിര്‍ത്താം)

അപ്പോള്‍ -2 വിനു മുന്നിലുള്ള ‘ -‘ ഒരു operator അല്ല.

1-x^2 വിനു മുന്നിലുള്ള '-' ഒരു operator ആണ്. 1-x^2 എന്നത് operator വഴിയുള്ള ഒരു relation ആയതിനാല്‍ വിശ്വം മാഷ് പറഞ്ഞ പോലെ ആദ്യമെവിടെയൊക്ക്കെ operation നടത്താം എന്നുള്ള ചോദ്യം വരും. -2^2 എന്നുള്ളതില്‍ അങ്ങനെ ഒന്നില്ല. ഒരു ഓപ്പറേറ്റര്‍ ഫോമില്‍ -2^2 എന്നെഴുതണമെങ്കില്‍ 1*(-2)^2 എന്നാണ് വരേണ്ടത്.

ഇതൊക്കെ ആയിരുന്നു വിശ്വാസം. ഇപ്പോ എനീക്കും സംശയം ആയി. ഉമേഷ് മാഷ് ഇവിടെ എവിടേങ്കിലുമുണ്ടോ‍ാ ആവോ? ഒന്നും ഒന്നും ഇമണി വല്യേ ഒന്ന് എന്ന് പറഞ്ഞ ബഷീര്‍ തന്നെ സുല്‍ത്താന്‍!

വക്കാരിമഷ്‌ടാ said...

ഡാലീ, ഞാന്‍ കൊടുത്ത ആ ലിങ്ക് നോക്കിയായിരുന്നോ?

സംഗതി അത്ര കോമ്പ്ലിക്കേറ്റഡ് ആണോ?

ദേവന്‍ said...
This comment has been removed by the author.
ദേവന്‍ said...

ആരെങ്കിലും ഗൂഗിള്‍ കാല്‍കുലേറ്റര്‍ ഉപയോഗിക്കുന്നവരുണ്ടോ? (ഉപയോഗിക്കാന്‍ അറിയാനൊന്നുമില്ല, ഗൂഗിള്‍ സേര്‍ച്ചില്‍ ചോദ്യം കൊടുത്താല്‍ മതി) ഉണ്ടെങ്കില്‍ പച്ചാന കൊടുത്ത മൂന്നു ചോദ്യവും ഒന്നു കൊടുത്തു നോക്കിക്കേ.
-2^2 ഉം -(2)^2 ഉം ചോദിക്കുമ്പോള്‍ ഗൂഗിളമ്മച്ചി‍ -(2^2) = -4 എന്നു വിശദീകരിച്ചും കൊണ്ടാണു ഉത്തരം തരുന്നത്. (-2)^2 നെ -2*-2 ആയിട്ടും. ഞാന്‍ ഫാനായി.

Manu said...

Pachaana .. read only till avanazhi's reply.. the rest is not for you.... :(

വല്യമ്മായി said...

ഒരു സംശയം:മൈനസും നെഗറ്റീവും തമ്മില്‍ വ്യത്യാസമില്ലേ ചിഹ്നം ഒന്നാണെങ്കിലും.കണക്ക് കൂട്ടുമ്പോള്‍ എക്ഷ്പൊണെന്‍സിയേഷന് മുന്തൂക്കം ലഭിക്കുന്നത് മൈനസ്സ് ഓപ്പരേഷനിലല്ലേ,നെഗറ്റീവ് ചിഹ്നത്തിന്മേലല്ലോ?

-b യിലേയും a-b ചിഹ്നങ്ങള്‍ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസമാണ് അറിയേണ്ടത്?

വക്കാരിമഷ്‌ടാ said...

നെഗറ്റീവ് ക്വാണ്ടിറ്റിയെ കാണിക്കാനുള്ള ചിഹ്‌നമാണ് മൈനസ് എന്നാണോ?

-5 (മൈനസ് 5) എന്നാല്‍ അഞ്ച് എന്ന ക്വാണ്ടിറ്റി പൂജ്യത്തിനും താഴെയാണ് എന്ന് സൂചിപ്പിക്കാന്‍ മൈനസ് എന്ന ചിഹ്‌നമിട്ട് (-5) എന്ന് എഴുതുന്നു.

ശരിയാണോ?

daly said...

വല്യാമ്മായി അതാണ് എന്റേം ചിന്താ കുഴപ്പം. -2 ഒരു സംഖ്യയല്ല എന്ന് അംഗീകരിക്കാന്‍ ബുദ്ധിമുട്ട്.
വക്കാരീ ഞാന്‍ ലിങ്ക് കണ്ടിരുന്നു. ഒരു ഓപ്പറേഷനുമ്ം ഒരു സംഖ്യയും അതാണ്‌ പ്രശ്ന്നം.

ദേവേട്ടാ, ഗൂഗില്‍ കാല്‍കുലേറ്റര്‍ വിശ്വേട്ടന്‍ പറഞ്ഞ പോലെ ഒരു വലിയ ഇക്വേഷന്‍ സോള്‍വറാണെന്നാണ് ആ എഴുത്ത് രീതി കണ്ടീട്ട് മനസ്സിലാകുന്നത്. ഒരു സിമ്പിള്‍ സയന്റിഫിക് കാല്‍കുലേറ്റര്‍ എടുത്ത് -2^2 കൊടുത്ത് നോക്കിയേ.

വല്യമ്മായി said...

അപ്പോള്‍ പൂജ്യത്തിനു താഴെയുള്ള ആ 2 ന്റ്റെ അതായത് നെഗ്റ്റീവ് രണ്ടിന്‍റെ വര്‍ഗ്ഗം എന്താണ്?

തറവാടി said...

സയന്‍റീഫിക് കാല്‍കുലേറ്റര്‍ മൈക്രോ സോഫ്റ്റ് എല്ക്സെല്‍ ,

എല്ലാം ആദ്യം പറഞ്ഞ ഉത്തരം “4“ ആണ്‍ തരുന്നത്.

Inji Pennu said...

ഈശ്വരാ! സ്കൂള്‍ കണക്കെങ്കിലും എനിക്ക് അറിയാമായിരുന്നു എന്നാണ് ഞാന്‍ ധരിച്ചു വെച്ചിരുന്നത്. :(

ഈ ചോദ്യം കുട്ടികളോട് ആ ക്ലാസ്സിലൊക്കെ ചോദിക്കുന്നത് തന്നെ എക്സപോണന്‍സിന്റേം മറ്റും പ്രയോരിറ്റി കാണിക്കാനല്ലെ? അതുകൊണ്ടൊക്കെ തന്നെ -4 തന്നെയാണ്
ഉത്തരം എന്ന് തന്നെ ഞാന്‍ വിചാരിക്കുന്നു. ബ്രാക്കറ്റില്ലെങ്കില്‍ അത് -4 തന്നെയാണ് എന്നാണ്. ബ്രാക്കറ്റുണ്ടെങ്കില്‍ പ്രയോരിറ്റി മാറുന്നു. പച്ചാനയ്ക്ക് കൊസ്റ്റ്യന്‍ വന്നതു തന്നെ അത് കുട്ടികളെ പഠിപ്പിക്കനായിക്കില്ലെ?

ഉമേഷേട്ടന്‍ ഈ കട്ടി പസിള്‍ ഇട്ടിട്ടൊന്നും കാര്യമില്ല. ഇതുപോലെയൊക്കെ എന്തേലും ഇട്ടാലും മതി.

ആവനാഴി said...

വല്യമ്മായീ,

വര്‍ഗ്ഗം എന്നതിനെ ‍ ഇംഗ്ലീഷില്‍ square എന്നു വിളിക്കുന്നു.

നെഗറ്റീവ് രണ്ടിന്റെ വര്‍ഗ്ഗം എന്നു പറയുന്നത് നെഗറ്റീവ് രണ്ടിനെ നെഗറ്റീവ് രണ്ടു കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതാണു. അപ്പോള്‍ ഉത്തരം 4 അഥവാ പോസിറ്റീവ് 4

വക്കാരിമഷ്‌ടാ said...

അതിനാണ് ഓണ്‍ലൈന്‍ സയന്റിഫിക് കാല്‍‌ക്കുലേറ്റര്‍ :)

അടിസ്ഥാന ഗണിതത്തിന് എക്സലും കാല്‍ക്കുലേറ്ററും ഉപയോഗിച്ചാല്‍ പ്രശ്‌നമാകുമെന്ന് തോന്നുന്നു.

വല്യമ്മായി said...

ആ സയന്‍റിഫിക് കാല്‍കുലേറ്ററില്‍ (2-4)^2 ചെയ്തപ്പോഴും ഉത്തരം നെഗറ്റീവ് 4 എന്നാണല്ലോ കിട്ടിയത്??

Dinkan-ഡിങ്കന്‍ said...

പ്രിയ പച്ചാന (വെള്ളാന എന്ന് കേട്ടിട്ടുണ്ട്, കറുത്താനയെ കണ്ടിട്ടുണ്ട്, ഇത് പച്ചാനയെ ആദ്യായിട്ടാ) ,

-4
-4
+4

എന്നാണ് ഡിങ്കന്‍ ചേട്ടന്റെ അഭിപ്രായം.(തെറ്റാണെങ്കില്‍ ഇടിക്കരുത്)

ഒഫ് . ടൊ
ഈ കമെന്റ് മൊത്തായി വായിച്ച് ആ കൊച്ച് ഇപ്പോള്‍ തന്നെ ഈ പരുവത്തില്‍ <> ആയിട്ടുണ്ട് ഇനി വേദഗണിതം, രഞ്ചികുട്ടപ്പന്‍ മെത്തേഡ് ഇവാല്യൂവേഷന്‍, അവകലനം ഒക്കെ പഠിപ്പിച്ച് മിക്കവാറും ആ പാവം കൊച്ച് കണക്ക് പുസ്തകം വല്യമ്മായി ചിക്കന്‍ ബിരിയാണി ഉണ്ടാക്കണ അടുപ്പില്‍ ഇട്ട് കത്തിക്കും. (പണ്ട് ഡിങ്കേട്ടനും ഇത് പോലെ ചെയ്തിരുന്നു. കണക്കെന്ന് പറഞ്ഞാല്‍ എനിക്കങ്ങിന്യാ കണ്ണിന് നേരെ പൊയിട്ട് വണ്ടീടെ റിയര്‍വ്യ്യൂ മിററില് വരെ കണ്ടൂടാ)

പച്ചാനാ എസ്കേപ്പ്....ചൂരലടിയാണ് ഇതിലും ഭേതം :) (അരും ഡിങ്കനെ ഓടിച്ചിട്ടിടിക്കരുത്)

ദേവന്‍ said...

ഉവ്വ് ഡാലീ, അതാണു ഞാന്‍ പറഞ്ഞത് ഗൂഗിള്‍ ഫാന്‍ ആയെന്ന്! സൈ. കാല്‍ക്കുലേറ്റര്‍ മാത്രമല്ല, ഞങ്ങള്‍ കണക്കെഴുത്തുകാരുടെ അരിക്കലം ആയ എക്സലും ചതിക്കും ഇതില്‍ (ദാ തറവാടിയും പറഞിട്ടുണ്ടത്)
(പച്ചാനേ, സോറി മോളെ. എന്തെഴുതിയാലും അതില്‍ ഓഫ് അടിക്കുമെന്നത് ദേവന്‍ മാമേന്റെ വിധി!)

ആവനാഴി said...

തറവാടീ,

മൈക്രൊസോഫ്റ്റ് എക്സലില്‍ POWER(-2,2) എന്ന എക്സ്പ്രഷന്‍ ഉപയോഗിച്ചല്ലേ 4 എന്നു കിട്ടിയത്.

അതില്‍ POWER(-2,2) എന്നതിന്റെ അര്‍ത്ഥം പച്ചാനയുടെ ചോദ്യത്തില്‍ (a) ല്‍ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതല്ല. അതിന്റെ അര്‍ത്ഥം (c) ല്‍ പറഞ്ഞിരിക്കുന്നതാണ്.

POWER(-2,2)= (c) ല്‍ പറഞ്ഞിരിക്കുന്നത്= (-2)times (-2)= (-2)*(-2)=4.

സസ്നേഹം
ആവനാഴി

തറവാടി said...

ദേവേട്ടാ ,

കമ്പ്യൂട്ടറിന് മൈനസും , നെഗറ്റീവും ഒരു പോലെയാണ് ,
അതുകൊണ്ടാണ് വല്യമ്മായിക്ക് (2-4) ന്‍റെ വര്‍‍ഗ്ഗം മൈനസ് നാല്‍ കിട്ടിയത്

( 2-4) = മൈനസ് 2 , നെഗറ്റിവ് 2 അല്ലെന്ന് ചുരുക്കം

ആവനാഴി said...

പ്രിയ ദേവാ,

“ എക്സലും ചതിക്കും ” എന്നു പറയുന്നത് ശരിയല്ല. ഒരു ഫങ്‌ഷന്‍ എക്സലിലോ സൈന്റിഫിക് കാല്‍കുലേറ്ററിലോ ഉപയോഗിക്കുമ്പോള്‍ എന്താണ് ആ ഫങ്‌ഷന്‍ ചെയ്യുന്നത് എന്നു മനസ്സിലാക്കാത്തതിന്റെ കുഴപ്പമാണു. അല്ലാതെ എക്സലിന്റെ കുഴപ്പമല്ല.

ഞാന്‍ മുകളില്‍ തറവാടിക്കു കൊടുത്ത മറുപടി നോക്കുമല്ലോ.

സസ്നേഹം
ആവനാഴി.

വിശ്വപ്രഭ viswaprabha said...

പച്ചാന ഈയിടെ പഠിക്കുന്ന പാഠപുസ്തകം എടുത്തുനോക്കൂ.

ഗുണനക്രമനിയമം, ഗുണനസംയോജകനിയമം, ഗുണനവിതരണനിയമം (Commutation Law/ Association Law/Distribution Law) ഒക്കെയാവും അതില്‍.

അതോടൊപ്പം തന്നെ order of precedence എന്ന (BODMAS /BIDMAS) വസ്തുതകളേപ്പറ്റിയും ഉണ്ടാവും.

ആ Context-ല്‍ സംഖ്യാരേഖയെപ്പോലും പരിഗണിക്കേണ്ടതില്ല.

മാത്രമല്ല, നെഗറ്റീവ് എന്നതിനെ ഒരു ദിശാസൂചകമായി കണക്കാക്കിയാല്‍ പോലും, (-5)എന്നു തന്നെ എഴുതേണ്ടി വരും.

ഈ വിഷയത്തില്‍ കാല്‍ക്കുലേറ്ററുകളെ ഒന്നിനേയും കണ്ണടച്ചു വിശ്വസിക്കരുത്. ഒരേ കമ്പനിയുടെ പല മോഡലുകളില്‍ പലപോലെ വരാം. എല്ലാ കാല്‍ക്കുലേറ്ററിന്റേയും മാനുവലില്‍ ഉണ്ടാവും അത് ഏതു രീതിയാണ് അവലംബിക്കുന്നതെന്ന്. (Prefix (Polish)notation / Infix notation / Postfix notation (Reverse Polish notation)).

കൂടുതല്‍ വിവരങ്ങള്‍: ഇവിടെയും പിന്നെ ഇവിടെയും.


പച്ചാനേ, പേടിക്കുകയൊന്നും വേണ്ട. ഇതൊന്നും ശരിക്കും അത്ര വിഷമമുള്ള കാര്യമൊന്നുമല്ല. തല്‍ക്കാലം മുഴുവന്‍ മനസ്സിലായില്ലെങ്കിലും കുഴപ്പവുമില്ല. :-)

എന്തായാലും ഈ പ്രായത്തില്‍ ഈയൊരു കാര്യം നന്നായി മനസ്സിരുത്തി മനസ്സിലാക്കിയാല്‍ തന്നെ നല്ലൊരു Maths Student ആവാം. നിര്‍ഭാഗ്യവശാല്‍ കോളേജുവിദ്യാര്‍ത്ഥികള്‍ പോലും ഗുണനവിതരണനിയമം കണ്ട് കണ്ണുതള്ളിയിരിക്കുന്ന അവസ്ഥ കണ്ടിട്ടുണ്ട്.

വക്കാരിമഷ്‌ടാ said...

ഇതാണല്ലോ വല്ല്യമ്മായീ കിട്ടുന്നത്

വിശ്വപ്രഭ viswaprabha said...

അയ്യയ്യോ! ഞാന്‍ ആ കമന്റു പോസ്റ്റുചെയ്യുന്നതിനുമുന്‍പേ ഇത്രയധികം വിശദീകരണങ്ങള്‍ വന്നോ!

എങ്കില്‍ ഇനി ഇതില്‍ നല്ലത് ഏതാഎന്നു നോക്കി എടുത്തോളൂ പച്ചാനേ!


എന്തായാലും കാല്‍ക്കുലേറ്ററിലല്ല, പുസ്തകത്തിലാണു ചെയ്യേണ്ടത് എങ്കില്‍ ഞാന്‍ പറഞ്ഞതു നോക്കിയാല്‍ മതീട്ടോ! :)

sandoz said...

പാവം പച്ചാന...ബ്ലോഗില്‍ ഈ സംശ്യം വന്ന് ചോദിക്കണതിലും ഭേദം വല്ല താലിബാന്‍ തീവ്രവാദികളുടെ അടുത്ത്‌ പോയി ചോദിക്കണതായിരുന്നു.....
എന്തൊരു ആക്രമണം ആണിത്‌.....മോളേ ഈ കമന്റുകളുടെ ഒരു പ്രിന്റ്‌ എടുത്ത്‌ നാളെ സ്കൂളില്‍ കൊണ്ട്‌ പോയി ടീച്ചറെ കാണിക്കണോട്ടോ.......
[അവിടെ സംഭവിക്കണതിനൊന്നും ഞാന്‍ ഉത്തരവാദി ആയിരിക്കില്ലാ...]

ആവനാഴി said...

പ്രിയ തറവാടീ,

മൈനസ് 2 ഉം, നെഗറ്റീവ് 2 ഉം തത്വത്തില്‍ ഒന്നു തന്നെയാണു.

താഴെ കാണിച്ചിരിക്കുന്നത് നോക്കൂ.

0-2 എന്ന എക്സ്പ്രഷന്‍ നോക്കൂ. ഇവിടെ പൂജ്യം മൈനസ് രണ്ട് എന്നു നാം പറയുന്നു.

ഇനി എന്താണു 0-2 വിന്റെ വില?

0-2=-2. സമ്മതിച്ചോ?

-2 നെ നമുക്ക് നെഗറ്റീവ് 2 എന്നു വിളിക്കാം. അതിനെ മൈനസ് 2 എന്നും വിളീക്കും.

സസ്നേഹം
ആവനാഴി

വേണു venu said...

മാമ്മന്മാരേ,
കണക്കിലൊരു ചെറിയ സംശയമായിരുന്നു.
ഇത്രയും വലിയ സംശയമാക്കി തന്നതിനു് നന്ദി.:)
പച്ചാന.

Dinkan-ഡിങ്കന്‍ said...

നെഗറ്റീവും, മൈനസ്സും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം.(എവിടൊക്കെ ഏത് വാക്ക് ഉപയോഗിക്കണം എന്ന്)
ദേ http://mathforum.org/library/drmath/view/61346.html ഇവിടെ പറഞ്ഞിരിക്കണൂ.

തറവാടി said...

ആവനാഴീ,

ഉത്തരംശരി തന്നെ എന്നാല്‍ നെഗറ്റിവ് എന്ന ചിഹ്നം സാംഖ്യയുടെ ഒരു ഭാഗമാണ് ,എന്നാല്‍ മൈനസ് എന്നത് ഒരു ഓപറേറ്റര്‍ മാത്രമല്ലെ

ആവനാഴി said...

പ്രിയ വിശ്വപ്രഭേ,
സംഖ്യാരേഖയില്‍ (-2)*2 ന്റെ വില -4 എന്നു നമുക്കു വിശദീകരിച്ചു കാണിക്കാം.

സംഖ്യാരേഖ ഉപയോഗിച്ച് (-2)*(-2)=+4 എന്നു കിട്ടുന്നത് ഒന്നു വിശദീകരിക്കാമോ?

സസ്നേഹം
ആവനാഴി

കുതിരവട്ടന്‍ | kuthiravattan said...

-2^2 = -4
-(2)^2 = -4
(-2)^2 = 4

പക്ഷേ a. യുടെ ഉത്തരം 4 എന്നാണെന്നാണ് എന്റെ വിശ്വാസം. അവിടെ (-2) വിന്റെ സ്ക്വയര്‍ ആണ് കാണേണ്ടത്.

Manu said...
This comment has been removed by the author.
തറവാടി said...

ആവനാഴീ,

ഡിങ്കന്‍ പറഞ്ഞ ലിങ്ക് നോക്കൂ , എന്‍റെ മുന്നത്തെ കമന്‍റ് വിശദമാകും

ഡിങ്കാ നന്ദി

വിശ്വേട്ടന് തന്ന ലിങ്ക് നോക്കുന്നെയുള്ളു

Manu said...

ഓഫ്: വക്കാരിയോട് മാത്രം..
നേരത്തെ പറഞ്ഞ ഒരു കണ്‍ഫ്യൂഷനും വിശ്വേട്ടന്റെ ഉത്തരവും ....

ഇതൊന്നു നോക്കൂ

daly said...
This comment has been removed by the author.
ആവനാഴി said...

പ്രിയ തറവാടീ

“ഉത്തരംശരി തന്നെ എന്നാല്‍ നെഗറ്റിവ് എന്ന ചിഹ്നം സാംഖ്യയുടെ ഒരു ഭാഗമാണ് ,എന്നാല്‍ മൈനസ് എന്നത് ഒരു ഓപറേറ്റര്‍ മാത്രമല്ലെ ”


-2 എന്നെഴുതുമ്പോള്‍ നെഗറ്റീവ് എന്ന ചിഹ്നം -2 എന്ന നമ്പറിന്റെ ഭാഗമായിട്ടെടുക്കാം എന്നു പറയുന്നത് ശരിയാണ്.

അതേ സമയം ഈ - എന്നത് ഒരു ഓപ്പറേറ്ററുമാണു. ഇവിടെ അത് ഒരു യൂനറി ഓപറേറ്റര്‍ ആയിട്ടാണ് വരുന്നത്. അതായത് ഈ മൈനസ് എന്ന ഓപ്പറേറ്റര്‍ 2 എന്നു പേരായ ഒരു ( രണ്ടു സംഖ്യകളല്ല) സംഖ്യയില്‍ പ്രവര്‍ത്തിക്കുന്ന ഒരു പ്രയോഗം എന്നര്‍ത്ഥം.

എന്നാല്‍ 0-2 എന്നെഴുതുമ്പോള്‍ ഈ മൈനസ് ഒരു ബൈനറി ഓപറേറ്റര്‍ ആയി പ്രവര്‍ത്തിക്കുന്നു. അതായത് രണ്ടു സംഖ്യകളെ ( പൂജ്യവും രണ്ടും)യോജിപ്പിക്കുന്ന ഒരു ഓപറേറ്റര്‍ ആയിട്ട്.

സസ്നേഹം
ആവനാഴി

Dinkan-ഡിങ്കന്‍ said...

കുതിരവട്ടാ
http://en.wikipedia.org/wiki/Order_of_operations എന്ന മുന്നേ പറഞ്ഞ ലിങ്കില്‍ ചിഹ്നങ്ങളുടെ ക്രമം കൊടുത്തിട്ടുണ്ട് . അതില്‍ എക്സ്പൊണന്റിനാണ് യൂനറി മൈനസ്സിനേക്കാള്‍ മുന്നേ വരുന്നത്. അതായത് -2^2 = -(2^2)=-4 എന്ന് വരും

ഒഫ്.ടൊ
പച്ചാനകുട്ടീ, പണ്ട് മഹാഭാരത യുദ്ധം തുടങ്ങും മുമ്പ് അര്‍ജുനനും,ദുര്യോധനും കള്ളകൃഷ്ണനെ കാണാന്‍ പോയി. ആദ്യം ചെന്നത് ദുര്യോധനന്‍ , അപ്പോല്‍ കൃഷ്ണന്‍ ഉറക്കം(നടിപ്പ്) ആയതിനാല്‍ കൃഷ്ണന്റെ തലക്കല്‍ ഇരുന്ന് “ഫെമിന” മാസിക മറിച്ച് നൊക്കി ഇരുന്നു പഹയന്‍. പിന്നീട് അര്‍ജ്ജുനന്‍ വന്നു. മൂപ്പര് കൃഷ്ണന്റെ കാല്‍ക്കല്‍ ഇരുന്നു. കുറെ കഴിഞ്ഞ് ബോറടിച്ചപ്പോള്‍ കാലില്‍ ഇക്കിളിയിട്ടു. അപ്പോള്‍ കൃഷ്ണന്‍ ഉണര്‍ന്ന് അര്‍ജ്ജുനനോട് “ഡാ നീ എപ്ലാ വന്നത്?” എന്ന് ചോദിച്ചു അപ്പോള്‍ ദുര്യോധനന്‍ പറഞ്ഞു. ഞാനാ ആദ്യം വന്നത് എന്ന്. അപ്പോല്‍ ആദ്യം സംസാരിക്കേണ്ടത് തന്നോടാണെന്ന്. പക്ഷേ കൃഷ്ണന്‍ പറഞ്ഞു. താന്‍ ആദ്യം വന്നാലും ഞാന്‍ ആദ്യം കണ്ടത് അര്‍ജ്ജുനനെ ആണെന്ന്. അതു പോലാണ് പച്ചാനകുട്ടി ഇവിടുത്തെ കാര്യം. കുട്ടിടെ - അവിടെ ആദ്യം ഉണ്ടെങ്കിലും ആദ്യം സ്ക്വയര്‍ അങ്ങട് പ്രവര്‍ത്തിക്കും, എന്നിട്ടേ - വരൂ. പാവം ല്ലേ. അപ്പോള്‍ ആദ്യം സ്വകയര്‍ കാണും എന്നിട്ട് അതിനു - വാലു കൊടുക്കും. അപ്പോള്‍ -4 കിട്ടും
എന്നാണെന്റെ അറിവ്. കണക്കില്‍ വീക്കായ എന്ന പച്ചാന കൂടി വീക്കരുത് പ്ലീസ്

തറവാടി said...

ഇനി ഇതിന്‍റെ മുകളില്‍ ഇരുന്നാല്‍ നാളെ ഓഫീസിലെ കണക്കു തെറ്റും :)

പച്ചാനാടെ ടീച്ചറോട് അവളെന്തു പറയണം?:)

വിശ്വപ്രഭ viswaprabha said...

ഇനിയും ലിങ്കുകള്‍ :)

മുതിര്‍ന്നവര്‍ക്കു വേണ്ടി

പച്ചാനയ്ക്കു വായിക്കാന്‍

Manu said...

വിശ്വേട്ടാ.. പച്ചാനക്കിട്ട ലിങ്ക് നന്നായി...
I think that settles the issue for Pachaana

Dinkan-ഡിങ്കന്‍ said...
This comment has been removed by the author.
ആവനാഴി said...

പ്രിയ തറവാടീ,

-2 എന്ന നമ്പറിന്റെ ഭാഗമായി - നെ കണക്കാക്കാമല്ലോ അപ്പോള്‍ പിന്നെ പച്ചാനയുടെ ചോദ്യങ്ങളില്‍ (a) ലും (c) ലും പറഞ്ഞിരിക്കുന്നത് ഒന്നു തന്നെയല്ലേ എന്നാണു തറവാടി ചോദിക്കുന്നത് അല്ലേ? ഗണിതശാസ്ത്ര കണ്‍‌വെന്‍ഷന്‍ വച്ച് അതു രണ്ടും ഒന്നല്ല.

കാരണം (a)ല്‍ - എന്ന യൂനറി ഓപറേറ്റര്‍ പ്രവര്‍ത്തിക്കുന്നത് 2^2 എന്ന സംഖ്യയിന്മേലാണ്.
(c) ലാകട്ടെ - എന്ന യൂനറി ഓപറേറ്റര്‍ 2 എന്ന സംഖ്യയില്‍ പ്രവര്‍ത്തിച്ചു കിട്ടുന്ന ഉത്തരത്തിന്റ്റെ വര്‍ഗ്ഗം കാണുക എന്ന പണി ചെയ്യുന്നു.

സസ്നേഹം
ആവനാഴി

ആവനാഴി said...

പ്രിയ തറവാടീ,

വിശ്വവും ഞാനും എഴുതിയിരിക്കുന്ന ഉത്തരങ്ങളാണ് ശരി.

പച്ചാന ധൈര്യമായി ടിച്ചറോടു പറഞ്ഞോട്ടെ ഇതു.

സസ്നേഹം
ആവനാഴി

ആവനാഴി said...

തറവാടീ,

ഒരേ വസ്തുവിനെ പല വീക്ഷണകോണത്തില്‍ നമുക്കു കാണാം. അതാണു കണക്കിലും സംഭവിക്കുന്നത്

സസ്നേഹം
ആവനാഴി

Dinkan-ഡിങ്കന്‍ said...

പ്രിയ തറവാടീ,വിശ്വവും ഞാനും എഴുതിയിരിക്കുന്ന ഉത്തരങ്ങളാണ്
അങ്ങിനെ മുഴുവര്‍ ക്രെഡിറ്റ് കൊണ്ടോവാന്‍ വരട്ടെ മാഷെ വാക്കാരി, ഇഞ്ചി, പ്രമോദ്, ഈ ഞാന്‍, ദേവേട്ടn ഒക്കെ ഇത് തന്ന്യല്ലേ പറഞ്ഞത്. അപ്പോള്‍ ഞങ്ങള്‍ ആരായി? അപ്പോള്‍ ശശി ആരായി?

ചുമ്മാതാണ് കേട്ടോ. :)

വക്കാരിമഷ്‌ടാ said...

ലെവനെങ്ങിനെ കണക്കുകൂട്ടുന്നു എന്നതനുസരിച്ചും ബ്രാക്കറ്റ് അവന്‍ തോന്നുന്നതുപോലെയൊക്കെയാണോ എന്നതനുസരിച്ചും ഇരിക്കും എന്ന് തോന്നുന്നല്ലേ മനൂ.

ഗുണപാഠം, പാലിന്റെ കണക്ക്, തേങ്ങയുടെ കണക്ക് ഇവയ്ക്കൊക്കെ മാത്രം സയന്റിഫിക് കാല്‍‌ക്കുലേറ്റര്‍ ഉപയോഗിക്കുക എന്നതല്ല, എന്നാലും ലെവന്‍ എങ്ങിനെയൊക്കെ ഇതൊക്കെ ചെയ്യുന്നു എന്ന് മനസ്സിലാക്കി വേണം ലെവനെ ഉപയോഗിക്കാന്‍ :)

വിശ്വേട്ടന്റെ ലിങ്കുകള്‍ ഉപകാരപ്രദം. ഇത്തരം സംശയങ്ങള്‍ ഡോമാത്തിനോടും ചോദിക്കാവുന്നതാണ്-പച്ചാനയുടെ സംശയത്തിന് ഇപ്പോള്‍ തന്നെ അവിടെ ഉത്തരമുണ്ട്- ബാക്കി ഉരുത്തിരിഞ്ഞുവന്ന സംശയങ്ങള്‍.

ആവനാഴി said...

വല്യമ്മായീ,

വക്കാരി തന്ന കാല്‍കുലേറ്റര്‍ ലിങ്കില്‍ (2-4)^2 എന്ന് കൊടുത്താല്‍ 4 ആണല്ലോ കിട്ടുന്നത്.
-4 അല്ല.

വല്യമ്മായി ഒന്നു കൂടി ശ്രദ്ധിച്ച് ഇട്ടുനോക്കൂ.

സസ്നേഹം
ആവനാഴി

ആവനാഴി said...

പ്രിയ ഡിങ്കാ,

ഞാന്‍ പ്രത്യേകിച്ചൊരു ക്രെഡിറ്റെടുക്കാന്‍ വന്നതല്ല.
ഞങ്ങള്‍ പറഞ്ഞിരിക്കുന്ന ഉത്തരങ്ങള്‍ വേറേ ആരൊക്കെ എഴുതുന്നുവോ അവരുടേയൊക്കെയും ശരിയുത്തരങ്ങളാണു.

സസ്നേഹം
ആവനാഴി

Dinkan-ഡിങ്കന്‍ said...

ആവനാഴി മാഷേ,
ഞാന്‍ ചുമ്മാ പറഞ്ഞതാണെന്ന് ആ കമെന്റില്‍‍ തന്നെ പരഞ്ഞല്ലോ :) ഞാന്‍ ഇതിലൊരു തമാശയ്ക്ക് കൂടീതാണേ.

ണിം..ണിം..
അപ്പോള്‍ കണക്ക് പിര്യേഡ് കഴിഞ്ഞിരിക്കുന്നു.
അപ്പോള്‍ നാളെ പച്ചാന അടുത്ത ചോദ്യം ആയി വരൂ, ഞങ്ങള്‍ ഇവിടൊക്കെ തന്നെ കാണും.

ഡിങ്കന്റെ കണക്ക് കൂട്ടലുകളൊക്കെ തെറ്റ്യൊ?

Manu said...

ഒരൊന്നന്നര ഓഫ്ഫ്:

ഇതും കൂടെചേര്‍ത്ത് 64 റിപ്ലേ..
വെല്ല്യ കൊയപ്പമില്ല...

എന്നാലും ദോശചുടുന്നതാണു മെച്ചം..
വെശപ്പും പോവും കമന്റും കിട്ടും...

തറവാടി മാഷേ ഞാന്‍ ഇവിടില്ലാട്ടോ...

qw_er_ty

appu said...

എന്റമ്മേ..... കുഞ്ഞൊരു ചോദ്യത്തിന് ഇത്രയും കൊനഷ്ട് ഉത്തരങ്ങളോ.. പാവം പച്ചാന.

തറവാടീ, വല്യമ്മായീ, ഇതെന്റെ fianl verdict എന്താണെന്ന് പറഞ്ഞീല്ലല്ലോ? ഒരു ചോദ്യം കൂടി, നാം സാധാരണ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഏതെങ്കിലും situation - ഇല്‍ ഇങ്ങനെയൊരു കണക്ക് വരുമോ? ഉദാഹരണം പറയാമോ?

ഓ.ടോ. ഏതായാലും വായിച്ചുപരിചയമുള്ള പല ബ്ലോഗര്‍മാരുടെയും ശരിക്കുള്ള അറിവിന്റെ ആ Range ശരിക്കും വെളിവാക്കി ഈ പോസ്റ്റ്. പച്ചാനക്കു നന്ദി.

qw_er_ty

തറവാടി said...

മൈനസ്‌ 2 ഉം നെഗറ്റീവ്‌ രണ്ടും രണ്ടണെന്നു തന്നെ ഞാനിപ്പോഴും വിശ്വസിക്കുന്നു.

ഒരു സംശയം വെച്ച്‌ നടക്കാന്‍ പറ്റാത്തതിനാലാണ്‌ വീണ്ടും എഴുന്നുള്ളിച്ചത്‌!

അതായത്‌ ,

മൈനസ്‌ ചിഹ്നം (-) സംഖ്യയുടെ പിന്നില്‍ മുകളിലായിട്ട്‌ നെഗറ്റീവ്‌ സംഖ്യയായി പരിഗണിക്കുന്നതിനും ,
ഇതേ ചിഹ്നം സംഖ്യയുടെ പിന്നില്‍ നടുവിലിട്ട്‌ മൈനസ്‌ ഓപറേഷനെയും കാണിക്കുന്നു.

( കഷ്ടകാലം കൊണ്ട്‌ പോസ്റ്റിലുള്ള ചോദ്യത്തില്‍ നെഗറ്റീവ്‌ രണ്ടിനു പകരം മൈനസ്‌ രണ്ടായേ തോന്നൂ , :) )

അതുകൊണ്ടുതന്നെ ,

നെഗറ്റീവ്‌ സംഖ്യയെ വര്‍ഗ്ഗമാക്കുമ്പോള്‍ പോസിറ്റിവ്‌ ഉത്തരവും ,
മൈനസ്‌ ചിഹ്നം സംഖ്യയുടെ പിന്നിലിട്ടതിന്‍റ്റെ വര്‍ഗ്ഗം കാണുമ്പോള്‍ , മൈനസ്‌ ഉത്തരവും കിട്ടുമെന്ന്‌ സാരം.

ഉദാഹരണം:

നെഗറ്റീവ്‌ 2 ഗുണം നെഗറ്റീവ്‌ 3 സമം പോസിറ്റീവ്‌ 6

( നെഗറ്റീവ്‌ രണ്ടിന്‍റ്റെ വര്‍ഗ്ഗമെന്നത്‌ , നെഗറ്റീവ്‌ 2 ഗുണം നെഗറ്റീവെ 2 ആണല്ലോ അപ്പോള്‍ ഉത്തരം പോസിറ്റീവ്‌ 4 )

എന്നാല്‍

മൈനസ്‌ 2 ഗുണം 2 സമം മൈനസ്‌ 4 തന്നെയാണുതാനും

മൈനസ്‌ രണ്ടിന്‍റ്റെ വര്‍ഗ്ഗമെന്നത്‌ ,;

മൈനസ്‌ ഒന്ന്‌ ഗുണം ,
രണ്ടിന്‍റ്റെ വര്‍ഗ്ഗം സമം മൈനസ്‌ 4.

(-1Xsquare(2))=-4

As exponentiation is the priority factor ,first 2 get squired then multliply by minus one ( minus sign) , result minus 4

ഇനി ഞാന്‍ പറഞ്ഞതില്‍ വല്ല ശരികേടുമുണ്ടോ?

പ്രിയ ആവനാഴി,

മൈനസ്‌ സംഖ്യയും നെഗറ്റീവ്‌ സംഖ്യയും രണ്ടാണെന്ന്‌ തന്നെയാണ്‌ ഞാന്‍ തുടക്കം മുതലേ പറഞ്ഞിരുന്നത്‌ ,
തത്വത്തില്‍ ഒന്നു തന്നെയെങ്കിലും.

അതുകൊണ്ടുതന്നെ ഞാനും വല്യമ്മായിയും , സിജുക്വും ഡാലിയും പറഞ്ഞതാണ്‌ ശരിയെന്നാണെന്‍റ്റെ തോന്നല്‍ :)

please check this link:

http://id.mind.net/~zona/mmts/expressions/unaryOps.html

appu said...
This comment has been removed by the author.
അപ്പു said...

കേരളത്തില്‍ ഒരു പാടു നമ്പൂതിരിമാര്‍ ഉണ്ടെങ്കിലും “നമ്പൂതിരിപ്പാട്” എന്നു കേട്ടാല്‍ ഇ.എം.എസ് അല്ലേ നമ്മുടെ മനസ്സില്‍ വരിക? അതുപോലെയേ ഉള്ളൂ‍ മൈനസും നെഗറ്റീവും. പറഞ്ഞു പറഞ്ഞ് രണ്ടും ഫലത്തില്‍ ഒന്നു തന്നെ. ഇതു മനസ്സിലായി തറവാടീ.

എന്റെ ചോദ്യം അതല്ലായിരുന്നു. രണ്ടു ചക്ക, മൂന്നു മാങ്ങ എന്നു പറയുമ്പോള്‍ നമുക്കുണ്ടാവുന്ന ആ “ഏണ്ണം” എന്ന Concept ഈ മൈനസ് സംഖ്യകളുടെ കാര്യത്തില്‍ ഉണ്ടോ എന്നാണ്. അതോ മൈനസ് രണ്ട് എന്നത് ഒരു ആപേക്ഷിക concept മാത്രമോ?

ഒന്നുകൂടി വിശദമാക്കിയാല്‍, പോസിറ്റീവ് രണ്ട് മാങ്ങ എന്നാല്‍ രണ്ടു മാങ്ങയാണെന്നും അതിന്റെ വര്‍ഗ്ഗം നാല് മാങ്ങയെന്നും മനസ്സിലായി. അതുപോലെ നെഗറ്റീവ് രണ്ട് മാങ്ങ എന്നു പറഞ്ഞാലെന്താണര്‍ത്ഥം? അതിന്റെ വര്‍ഗ്ഗമെത്ര? കണക്കീഷ്യന്മാരെ ഒന്നു പറഞ്ഞുതരൂ.

തറവാടി said...

നെഗറ്റീവ് സമ്ഖ്യകളെ പലരീതിയില്‍ വിവരിക്കാമ്

ഒന്ന്‌:

നമുക്ക് രണ്ട് ചക്ക ആവശ്യമുണ്ട് കിട്ടാനില്ല അപ്പോള്‍ നമുക്ക് നെഗറ്റിവ്‌ രണ്ട് ചക്കയുണ്ടെന്നു പറയാം :)

വല്യമ്മായി said...

അപ്പൂ,ഈ http://mathforum.org/library/drmath/view/61346.html ലിങ്കൊന്നു നോക്കൂ,പക്ഷെ എന്തിനാണ് നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ വര്‍ഗ്ഗം എന്ന് എനിക്കറിയില്ല.

ഏറനാടന്‍ said...

പച്ചാനകുട്ടീ കണക്കില്‍ പണ്ടേ വട്ടപൂജ്യം വാങ്ങി റെക്കോര്‍ഡിട്ട എനിക്ക്‌ ഇതില്‌ സഹായിക്കാന്‍ പറ്റുന്നില്ലാലോ! (ഇതൊക്കെ അറിയാമെങ്കില്‍ എന്നേ എവിടേയൊക്കെ എത്തിയേനേം!)

Anonymous said...

To simplyfy:
in 1st & 2nd case '-' to be considered as 'minus/ operator' and 2 as whole number. in the third '-' is negative and -2 is an integer. Thus answers will be:
1. -2^2 = -4
2. -(2)^2 = -4
3. (-2)^2 = 4

Vanaja said...

നെഗറ്റീവ്‌ എന്നു പറയുന്നതും മൈനസ്‌ എന്നു പരയുന്നതും രണ്ടര്‍ഥത്തിലാണ്‌. -2 ഡിഗ്രീ സെണ്റ്റിഗ്രേഡ്‌ ചൂട്‌ എന്നു പറഞ്ഞാല്‍ എന്താണെന്നു നമുക്കറിയാം. അതെപൊലെ രണ്ടു പേര്‍ ഒരു സ്ഥലത്തു നിന്നും എതിര്‍ ദിശയിലേക്ക്‌ സഞ്ചരിക്കുന്ന്‌ എന്നു വയ്ക്കുക. വലത്തോട്ടുള്ള ദൂരത്തെ പൊസിറ്റിവെ കൊണ്ടും ഇടത്തോട്ടുള്ളതിനെ നെഗറ്റീവ്‌ കൊണ്ടും സൂചിപ്പിക്കും.

കൂട്ടലും കുറയ്ക്കലും നമ്പര്‍ ലൈന്‍ ഉപയോഗിച്ച്‌ ചെയ്താല്‍ ഇക്കാര്യം കൂടുതല്‍ വ്യക്ത്തമാവും. 1+2 നമ്പര്‍ ലിനെല്‍ കൂട്ടുംബോള്‍ നാ ചെയ്യുന്നത്‌ എന്താണ്‍'. നാം 1 ല്‍ നില്‍ക്കുന്നു. അവിടെ നിന്നും 2 യൂനിറ്റ്‌ വലത്തോട്ട്‌ മൂവ്‌ ചെയ്യുന്ന്‌. അപ്പോല്‍ നാം 3 ല്‍ എത്തുന്നു. അതേ സമയം 1-2 എങ്ഗനെ ചെയ്യും? നാം 1 ല്‍ നില്‍ക്കുന്നു. അവിടെ നിന്നും 2 യൂണിറ്റ്‌ എടത്തോട്ട്‌ മൂവ്‌ ചെയ്യുന്നു. നാം -1 ല്‍ എത്തുന്നു. ഇവിടെ - 2 എന്നത്‌ വ്യവകലനം എന്ന operation നേയും -1 എന്നത്‌ നെഗറ്റീവ്‌ ഇണ്റ്റിഗറ്‍ ആയ -1 നെയും സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ഇവിടെ ഒന്നിണ്ടെയും രണ്ടിണ്റ്റേയും ഉത്തരം -4 ആണ്‍`
മൂന്നിണ്റ്റെ ഉത്തരം 4.

നെഗറ്റീവ്‌ സംഖ്യയുടെ squareകാണെണ്ടി വരുമ്പോള്‍ ബ്രാക്കറ്റ്‌ ഇടും.

ആവനാഴി said...

പ്രിയ തറവാടീ,

താങ്കള്‍ പറഞ്ഞ ലിങ്ക് http://mathforum.org/library/drmath/view/61346.html നോക്കി. ഇന്നലെ രാത്രി നോക്കാന്‍ കഴിഞ്ഞില്ല. ഇപ്പോള്‍ നോക്കി. മറുപടി ഇവിടെ പോസ്റ്റു ചെയ്യുന്നു.

ആദ്യം ലിങ്കില്‍ എന്താണു പറഞ്ഞിരിക്കുന്നത് എന്നു പറയാം:

----------------------------------

ലിങ്കില്‍ പറഞ്ഞിരിക്കുന്നത് “ - ”എന്ന ചിഹ്നം രണ്ടു സംഖ്യകള്‍ക്കിടയില്‍ വരുമ്പോള്‍ ആ ചിഹ്നത്തെ മൈനസ് എന്നു വിളീക്കുന്നു. മൈനസ് എന്നു പറഞ്ഞാല്‍ ഒരു ഓപറെറ്ററാണ്, അതായത് വ്യവകലനം അഥവാ subtraction എന്ന ഓപറേറ്റര്‍.

എന്നാല്‍ വെറും ഒരു സംഖ്യ മാത്രം എഴുതുകയും ആ സംഖ്യക്കു പിറകില്‍ “ - ” എഴുതുകയും ചെയ്താല്‍ അവീടെ - എന്നത് ഒരു ഓപറേറ്ററല്ല; പ്രത്യുത അത് നെഗറ്റീവ് എന്നു വിളിക്കപ്പെടും എന്നു.

‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌-----------------------------------

ശരി ഇനി മുകളില്‍ പറഞ്ഞിരിക്കുന്ന കാര്യങ്ങള്‍ ഒന്നു വിശകലനം‍ ചെയ്യാം.

അപ്പോള്‍ 7-3 എന്നെഴുതുമ്പോള്‍ “-” വ്യവകലനം അഥവാ subtraction എന്ന ഓപറേറ്റര്‍. വെറുതെ -5 എന്നെഴുതിയാല്‍ “-” ഓപറേറ്റര്‍ അല്ല.
ഈ നിര്‍വചനം ശരിയല്ല.

എന്തുകൊണ്ടാണെന്നു നോക്കാം.

-5 എന്നു പറയുന്നത് ഒരു നെഗറ്റിവ് സംഖ്യയാണു. തര്‍ക്കമില്ല. അതു സംഖ്യാരേഖയില്‍ പൂജ്യത്തില്‍ നിന്നു 5 യൂണിറ്റ്സ് താഴെ കിടക്കുന്ന ഒരു സംഖ്യയാണ്. അതായത് -5 എന്നു പറയുന്നത് പൂജ്യത്തില്‍നിന്ന് 5 കുറച്ചു കിട്ടുന്ന സംഖ്യയാണു.
അപ്പോള്‍ നമുക്ക് ഇങ്ങിനെ എഴുതാം.

-5 = 0 - 5. ശരിയല്ലേ
ഇപ്പോള്‍ മുകളിലെ സമവാക്യത്തില്‍ ഇടതു വശത്ത് ഒരു ഒറ്റസംഖ്യയും വലതുവശത്ത് രണ്ടു സംഖ്യകളും കാണുന്നു.

ലിങ്കില്‍ പറഞ്ഞ നിര്‍വചനം വച്ചു നോക്കിയാല്‍ ഇടതു വശത്തെ - ഓപറേറ്ററല്ല. ഇടതു വശത്തെ - ഓപറെറ്ററാണു താനും.

സത്യത്തില്‍ വലതു വശത്തെ - ഒരു വ്യവകലന ഓപറേറ്റര്‍ ആയി പ്രവര്‍ത്തിക്കുന്നു. അതിന്റെ ഫലമായി കിട്ടുന്ന -5 എന്ന സംഖ്യയിലെ - ഒരു Additive Inverse operatorആയിട്ടാണ് പ്രവര്‍ത്തിക്കുന്നത്. കാരണം -5 എന്നു പറയുന്ന സംഖ്യ 5 എന്ന സംഖ്യയുടെ ആഡിറ്റീവ് ഇന്‍‌വേഴ്സ് ആകുന്നു. 5 ഉം -5 ഉം കൂട്ടിയാല്‍ 0 കിട്ടും എന്നതുകൊണ്ടാണു -5 നെ 5 ന്റെ ആഡിറ്റീവ് ഇന്‍‌വേഴ്സ് എന്നു പറയുന്നത്.

- എന്ന ഓപറേറ്റര്‍ 5 ല്‍ പ്രവര്‍ത്തിച്ച് പൂജ്യത്തില്‍ നിന്നു 5 കുറച്ചാല്‍ കിട്ടുന്ന സംഖ്യയായ -5 നെ പ്രദാനം ചെയ്യുന്നു എന്നര്‍ത്ഥം.

പിന്നെ ഒന്നു മനസിലാക്കേണ്ടത് ഒരു ഓപറേറ്റര്‍ പ്രവര്‍ത്തിക്കാന്‍ രണ്ടു സംഖ്യകള്‍ വേണം എന്നു നിര്‍ബ്ബന്ധമില്ല എന്നതാണ്. ഉദാഹരണം സ്ക്വയര്‍ റൂട്, അബ്സല്യൂട് വാല്യൂ മുതലായ ഓപറേറ്ററുകള്‍.

sqrt(4), abs(-3) എന്നൊക്കെയല്ലേ നാം എഴുതുന്നത്.

sqrt(4)=2 , abs(-3)=3

തറവാടി പറഞ്ഞത് നെഗറ്റീവ് 5 എന്ന സംഖ്യയെ കുറിക്കാന്‍ 5 ന്റെ ഇടതുഭാഗത്തു മുകളിലായി വേണം - ചിഹ്നം ഇടാന്‍ എന്നല്ലേ? അങ്ങിനെ യാതൊരു നിര്‍ബ്ബന്ധവുമില്ല. 5 ന്റെ ഇടതുഭാഗത്ത് നടുവില്‍ ഇട്ടാലും മുകളില്‍ ഇട്ടാലും അതു നെഗറ്റീവ് 5 തന്നെയാണു.പിന്നെ എന്തിനാണു ചിലര്‍ അങ്ങിനെ ചെയ്യുന്നത് എന്നു നോക്കാം.

ഉദാഹരണത്തിനു 7 , -3 ഈ രണ്ടു സംഖ്യകളെ കൂട്ടണമെന്നു വിചാരിക്കുക. നമ്മള്‍ എന്തു ചെയ്യും.

7 + (-3) എന്നെഴുതും.
എന്തിനാണു നാം -3 ബ്രാക്കറ്റില്‍ ഇടുന്നത്. 7+-3 എന്നെഴുതുമ്പോള്‍ ഉണ്ടാകുന്ന ആ ഒരു ഇത് ഒഴിവാക്കാന്‍. ഇതുപോലെ ഒരു പത്തു സംഖ്യകള്‍ കൂട്ടുന്ന മാല ഉണ്ടാക്കിയാലുള്ള കണ്‍ഫ്യൂഷന്‍ പറയേണ്ടല്ലോ!

അപ്പോള്‍ ബ്രാകറ്റു ഒഴിവാക്കികൊണ്ട് 7 + (-3) നെ എങ്ങിനെ കണ്ണിനു അരോചകത സംഭവിക്കാതെ എഴുതാം എന്നാണു ചോദ്യം.

7+ -3 എന്നതില്‍ - അല്പം മുകളിലേക്ക് മാറ്റി ഇട്ടാല്‍ മതി. അപ്പോള്‍ ഈ - മുകളിലേക്കു മാറ്റി ഇടുന്നത് വെറുമൊരു കൊസ്മറ്റിക് സര്‍ജറിയാണു.

അപ്പോള്‍ -5 എന്ന സംഖ്യയില്‍ - അല്‍പ്പം മുകളിലേക്കു മാറ്റി ഇട്ടാലും സംഗതി ഒന്നു തന്നെ എന്നു മനസ്സിലായല്ലോ. ആ സംഖ്യയെ നെഗറ്റീവ് 5 എന്നോ മൈനസ് 5 എന്നോ വിളിക്കാം രണ്ടും ഒന്നു തന്നെ.

ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യക്കു രണ്ടു ഭാഗങ്ങളുണ്ട്. ചിഹ്നം, കേവല മൂല്യം ഇവയാണവ. -5 എന്ന സംഖ്യയുടെ ചിഹ്നം - അതിന്റെ കേവല മൂല്യം 5. ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ കണക്കുകൂട്ടലുകള്‍ വരുമ്പോള്‍ ഈ രണ്ടു ഭാഗങ്ങളേയും വേര്‍തിരിച്ചു കാണണം.

അതുകൊണ്ട് -2 ന്റെ വര്‍ഗ്ഗം കാണാന്‍ -2 നെ ബ്രാക്കറ്റില്‍ ഇടബ്ണം. ഉത്തരം 4 ആയിരിക്കും.
അതായത് -2 ന്റെ വര്‍ഗ്ഗം= (-2)^2=(-2)*(-2)=4

-2^2 എന്നെഴുതിയാല്‍ വര്‍ഗ്ഗം എന്ന ഓപറേറ്റര്‍ 2ല്‍ മാത്രമേ പ്രവര്‍ത്തിക്കൂ.

-2^2=-(2^2)=-(2*2)=-4

ഇനി ഇവയുടെ വാചികാര്‍ത്ഥങ്ങള്‍ താഴെ കൊടുക്കുന്നു.

1. -2^2 എന്നെഴുതിയാല്‍ അതിന്റെ അര്‍ത്ഥം
2 ന്റെ വര്‍ഗ്ഗമായി വരുന്ന സംഖ്യയെ
പൂജ്യത്തില്‍ നിന്നു കുറക്കുക. ഉത്തരം -4

2. (-2)^2 എന്നെഴുതിയാല്‍ അതിന്റെ
അര്‍ത്ഥം 2 നെ പൂജ്യത്തില്‍നിന്നു കുറച്ചു
കിട്ടുന്ന സംഖ്യയുടെ വര്‍ഗ്ഗം കാണുക.
ഉത്തരം +4 അഥവാ 4

3. -(2)^2 എന്നെഴുതിയാല്‍ അര്‍ത്ഥം -2^2
എന്നു തന്നെയാണു. ഇവിടെ ബ്രാക്കറ്റ്
അധികപ്പറ്റാണ്. ഉത്തരം -4

ഈ വിവരങ്ങള്‍ പച്ചാനക്ക് പ്രയോജനപ്പെടും എന്നു കരുതുന്നു.

സസ്നേഹം

ആവനാഴി




ആവനാഴി said...

വല്യമ്മായീ
ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ വര്‍ഗ്ഗം കാണേണ്ടി വരുന്ന ഒരു പ്രായോഗിക സന്ദര്‍ഭം താഴെ കൊടുക്കുന്നു.

ദ്വിമാന ജ്യാമിതിയില്‍ ഒറിജിന്‍ കേന്ദ്രമായും 10 യൂണിറ്റ് റേഡിയസ്സായും വരുന്ന വൃത്തത്തിന്റെ സമവാക്യമാണ്

x^2 + y^2 = 100

(-8;6) എന്ന ബിന്ദു ആ വൃത്തത്തിലാണോ കിടക്കുന്നത് എന്നറിയാന്‍ എന്തു ചെയ്യും.

നാം ആ അക്കങ്ങളെ ആ സമവാക്യത്തിലിട്ടു നോക്കും.

(-8)^2 + 6^2 = 100

ഇടതു ഭാഗം ലഘൂകരിക്കുമ്പോള്‍ 100 എന്നു തന്നെ കിട്ടും. അതുകൊണ്ട് ആ ബിന്ദു ആ വൃത്തത്തില്‍ കിടക്കുന്നു എന്നു നാം അനുമാനിക്കുന്നു. ഇവിടെയൊക്കെയാണ് ഒരു നെഗറ്റിവ് സംഖ്യയുടെ വര്‍ഗ്ഗം കാണേണ്ടി വരുന്നതിന്റെ ആവശ്യം വരുന്നത്.

ആവനാഴി

കാലമാടന്‍ said...

unary negation-ന് അല്ലെ, ശരിക്കും precedence കിട്ടേണ്ടത്?
-2^2 = (-2)^2 എന്നാണ് ആദ്യം കാണുന്ന ആരും ചിന്തിക്കുക.
അതാണ് ഹ്യൂമന്‍ ലോജിക്ക്.
ഇതിനെ അടിസ്ഥാനപ്പെടുത്തിയാണ്, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലും boolean logic-ലും order of precedence നിര്‍വചിച്ചിരിക്കുന്നത്.
അങ്ങനെ വേണ്ടേ?

Maths Blog Team said...

ചര്‍ച്ച രസകരം തന്നെ. പ്രധാനപ്പെട്ട ബ്ലോഗര്‍മാരെല്ലാം പങ്കെടുത്തിട്ടുണ്ടല്ലോ. ഗണിതവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഈ വിഷയത്തില്‍ ഇത്രയേറെപ്പേര്‍ പ്രതികരിക്കാനെത്തിയത് സന്തോഷകരം തന്നെ

തറവാടി said...

അതായിരുന്നു അന്നത്തെ ബൂലോകം :)

JOHN P A said...

I saw the problem just now
Distingush between -2^2 (-2)^2 and -(2)^2
First and second are exactly same. Nowadays we use second
Third is different
It is the negative of 2 squared. It is -4
Note that

The first and second are the square of a negative number .The third is the negative of a square number
The square number is always positive.
Hence the answer

confused_realities said...

blossoming buds............